3.1. Математические свойства векторов

 

3.1.1. Преобразования симметрии

 

Вектора, выделенные в области N_iH…O_i-4=C-связи, в результате введения додекаэдра оказались его радиусами, исходящими из центра, в который помещен O_i-4 атом, и направленными к его вершинам (рис. 10). В силу симметрии, вектора направленные в противоположные стороны можно рассматривать также и как диаметры додекаэдра.

 

Направление каждого вектора может быть охарактеризовано двумя точками: точкой, из которой исходит радиус – центр додекаэдра (он является общим для всех 20 радиусов), и точкой, в которую направлен радиус, в данном случае одна из вершин додекаэдра. Положение этих вершин, в принципе, можно описать, используя какой-либо из стандартных методов для описания координат (прямоугольные, полярные и др.), однако для данного анализа это не имеет принципиального значения. Мы использовали для этого введенные в разделе 2.3.2. буквенные обозначения. 

 

     Внутри додекаэдра вектора образуют четыре группы, связанные взаимными преобразованиями симметрии (рис. 10).

 

 

Поскольку у нас имеется три плоскости симметрии, то переход через каждую плоскость к симметричному элементу можно обозначить какой либо буквой. Были введены [1-5] следующие обозначения:

-  переход элемента в самого себя обозначен цифрой 1.

- переход через плоскость I –  буквой a (альфа),

- переход через плоскость II – буквой b  (бета);

- вращение вокруг оси, лежащей в плоскости III  – буквой g (гамма).

Все преобразования  векторов внутри каждой группы можно описать в виде таблицы 3.1.

Таблица 3.1

Группы векторов, связанные преобразованиями симметрии

 

Первая и вторая подгруппы векторов локализованы в плоскости I (они желтого и зеленого цвета (рис. 10), а вершины, в которые они направлены обозначены A и –A,  B и –B. Эти подгруппы включают, соответственно, две пары взаимно перпендикулярных векторов, связанных  тождественным преобразованием (1) вектора самого в себя (А --> A, B --> B) и преобразованием вращения g вокруг оси C₂ относительно плоскости III: A --> – A и B -- > – B).

 

Третья подгруппа включает восемь векторов, окрашенных на рисунке 10  красным  цветом и обозначенных буквами А с индексами. Она связана:

 – тождественным преобразованием (1) вектора самого в себя  (A₁ --> A₁);

– преобразованиями отражения a – относительно плоскости I  (A₁ --> ¹A) и b – относительно плоскости II (A₁ --> A₂);

– их сочетанием – ab (A₁ --> ²A);

– преобразованием вращения g вокруг оси C₂ относительно плоскости III: A₁ --> –A₁,;

–  сочетанием вращения g с другими преобразованиями -  ag: A₁ --> –¹A,  bg: A₁ --> – A₂, abg: A₁ --> –²A).

 

Четвертая подгруппа включает восемь векторов, окрашенных на рисунке 10 синим цветом и обозначенных на  буквами B  с индексами. Она связана  теми же операциями преобразования симметрии.

Так, имеется:

– тождественное преобразование (1): B₁ --> B₁,

– отражение a: B₁ --> ¹B, отражение b: B₁ --> B₂;

– их сочетание ab: B₁ --> ²B;

– вращение g относительно плоскости III g:  B₁ --> –B₁;

–  различные сочетания с вращением:  ag: B₁ --> –¹B, bg: B₁ --> –B₂, abg: B₁ --> –²B.

    

Все эти операции, проделанные для A₁ и B₁, могут быть проведены для любого из векторов этих двух групп.

 

 

3.1.2. Вектора как математическая группа

 

Теоретико-групповой подход оказался очень эффективным в теоретической физике [ 16 ]. Мы применили его к анализу свойств векторов МВМ. Прежде чем проводить такой анализ, напомним основные аксиомы теории групп [ 16 ].

 

Определение группы: Непустое множество G с заданной на нем бинарной операцией: G x G --> G называется группой (G), если в нем выполнены следующие аксиомы:

 

1. Ассоциативность: для любых a, b и c из G верно (a · b) · c = a · (b · c);
2. Наличие нейтрального элемента: в G существует элемент e такой, что для всех a из G справедливо e · a = a · e = a;
3. Наличие обратного элемента: для любого a из G найдётся элемент a^-1 из G, называемый обратным, такой, что a · a^-1 = a^-1 · a = e

 

Сопоставление этих аксиом с множеством векторов додекаэдра позволяет говорить о том, что это группа.

 

Ассоциативность векторов можно понимать так, что для любых векторов из этой группы результат их действия будет всегда один и тот же, если сохраняется последовательность их действия.

 

Наличие нейтрального элемента предполагает наличие такого вектора, появление и действие которого не меняет типа структуры.

 

Наконец, наличие обратного элемента предполагает наличие вектора, реализация которого коренным образом меняет характер структуры.

 

Рассмотрение векторов с позиции теоретико-группового подхода позволяет предполагать, что вектор А, действие которого всегда направлено на формирование циклического 4х-звенного фрагмента, есть нейтральный элемент, а вектор –А, действие которого  всегда направлено на разрушение 4х-звенного фрагмента есть обратный элемент в этой группе. Аналогичный теоретико-групповой подход был использован для анализа свойств канонического набора боковых цепей аминокислот (раздел 3.2.)

 

 

На главную страницу

 

Адрес для связи: vector-machine@narod.ru